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The Curve of Clavería

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The 2008 International Exposition Zaragoza


 The Curve of Clavería (COC)

La Historia

Bueno, empecemos con la curva, y para ello haremos un poco de historia. Hace muchos años yo trabajaba en un taller de calderería en el que se fabricaban cuerpos metálicos 3D (tolvas, bifurcaciones, cilindros, conos, prismas, pirámides, etc) partiendo de chapas metálicas planas (sheet metal). Había un cuerpo que me atrajo su atención por su simplicidad y dificultad de desarrollarlo en el plano: EL CONO OBLICUO (when the vertex of a cone is not aligned directly above the center of its base) see figures 1

  Oblique
                cone

   figure 1. Oblique cone

La Curva

La técnicas habituales para desarrollar el cono oblicuo en el plano se basan en procedimientos gráficos aproximados, tal como nos enseña la geometría descriptiva. En la web

http://roger.speranza.free.fr/html/cone_oblique.html

podemos ver un ejemplo de un procedimiento gráfico.       Bien, pero la pregunta que me hice era: si la directriz del cono es una circunferencia de radio r y cortamos el cono por una generatriz desarrollándolo en el plano ¿cual es esa nueva curva? ¡mi curva!, que he llamado Curve of Clavería (COC). Su conocimiento analítico nos permitiría hacer una desarrollo del cono mucho más preciso.

Definition of Curve of Claveria 

 figure 2. Definition de la Curve of Claveria (COC)

Las Propiedades

La forma de la COC ya es conocida por la geometría descriptiva, figura 3, pero ¿cual es su ecuación?

Curve of Claveria

figure 3. Curve of Claveria (COC)

Observando la figura 3 podemos ver las siguientes características de la curva:

  1. es simétrica
  2. existen dos puntos de inflexión (P, E)
  3. existen tres puntos en los cuales el radio vector de la curva es perpendicular a su recta tangente (K, A)

Además, cuando el cono es recto sabemos por geometría elemental que la curva COC es muy sencilla: arco de circunferencia, fig. 4

Right circular cone

figure 4. Curve of Claveria (COC). Right cone

La Ecuación

Para determinar la ecuación de la COC tendremos en cuenta que en las superficies desarrollables (conos, cilindros, superficies tangenciales) se conserva constante la longitud de una curva perteneciente a ella cuando la superficie la desarrollamos en el plano, luego ya sabemos la longitud de COC : 2pr

Perimeter of cone

figure 5. Longitud de la COC

Coordenadas polares parametricas

Para seguir avanzando en el conocimiento de la COC determinaremos su radio vector y su ángulo polar. Para esto consideramos como parámetro de la curva el ángulo t:

Polar parametric equations

figure 6. Coordenadas polares parametricas de la COC

1. Radio vector, r(t)

Será la distancia entre el vértice del cono y un punto de su generatriz

                                             Vector illustration                                        (1)

Vector illustration

figure 7. Generatriz del cono oblicuo vs radio vector de la COC

2. Angulo polar, q(t)

Consideraremos un trozo pequeño (diferencial) de nuestra curva en 3D y 2D, resultando, ver figura 8

                                                   ds = r dt                                            3D

                                                   ds2 = dr2 + (rdq)2                             2D   

Polar angles

figure 8. Angulo polar de la COC

luego,

Equation

sustituyendo el valor r e integrando,

                          Equation                     (2)

desgraciadamente  este integral es elíptica[1] y no se puede resolver en términos de funciones elementales.

Las ecuaciones (1) y (2) constituyen la formulación de COC en coordenadas polares parametricas. En coordenadas parametricas cartesianas tendríamos

                                                       Equation                                                  (3)

                                                        Equation                                                   (4)

Cartesian equations

figure 9. Coordenadas cartesianas parametricas de la COC

Ecuación intrínseca

Las ecuaciones (1) y (2) resuelven el problema planteado, pero matemáticamente no terminan de ser “bonitas” al tener que depender de una integral “no integrable”. Otra alternativa  para formular la ecuación de la COC seria definirla independientemente de una sistema de coordenadas: su ecuación intrínseca. En esta formulación relacionaremos la curvatura (k) en un punto de la curva y la longitud de la curva (s): k = k(s)

Equations continued

figure 10. Definición de la ecuación intrínseca de la COC

siendo

Polar equation

The curvature of a curve given by a polar equation r = r(q) is

                                                Equation continues                                           (5)

como en nuestro caso r = r(t) y q = q(t) tendremos

                                          Equation continued                                     (6)

y sustituyendo las ecuaciones (1) y (2) en (6) y teniendo en cuenta que s = r t tendremos

                 Equation completed¡Conseguido! It’s beautiful for me

s = 0 to 2 p r                  t = 0 to 2 p

Graph of the
                equation: max and min

curvatura mínima y máxima:

kmin = k(0) = k(2pr) = Equation: min                      kmax = k(pr) = Equation: max

curvatura nula (punto de inflexión):

El valor curvatura nula se definirá para el valor de t que cumple k(t)= 0, resulta

Equation                                     k(t0,min) = 0                                                                  

y por simetría

Equation                                         k(t0,max) = 0

El radio de curvatura

es la función inversa de la curvatura:

                                                                 Inverse function

radio de curvatura mínimo y máximo:

rc,min = k(0) = k(2pr) = Min                      rc,max = k(p r) = Max

radio de curvatura infinito (punto de inflexión):

El valor curvatura infinito se definirá para el valor de t que cumple k(t)= 0, resulta

Curvature equation                                     k(t0,min) = 0                                                                  

y por simetría

Equation: max cont.                                         k(t0,max) = 0

Concluding
                image


 The Curve of Clavería (COC)

Curve of Claveria




[1] Es un buen ejercicio matemático intentar resolverla en términos de funciones elípticas de 1º, 2ª o 3ª especie.

Printed References
There are both modern and classic texts on the development of sheet metal surfaces in a graphical way.  Pedro L. Claveria Vila suggests the following:
John Oprea,  Differential Geometry and its Applications,  2nd ed., Pearson/Prentice Hall, 2004, p. 253.
A. Jorge Ayala,  Técnica y Práctica de Caldereria,  Urmo, 1987, p. 164.
F. Lelong, F. Cossiaux,  Le Traçage en struxtures métalliques,  Casteilla, 2004, p. 106. 
Modern calculus texts will have extensive material on cones.  However, the oblique cone is far more obscure.
James Stewart,  Calculus, 5th ed., THOMSONBrooks/Cole, 2003,  p. 872.
For Mathematica® code that will create many variations of the cone see p. 441 in
Gray, A.,  MODERN DIFFERENTIAL GEOMETRY of Curves and Surfaces with Mathematica®,  2nd. ed., CRC Press, 1998.
Web Reference
The Sheet Metal Shop and Pattern Cutters's Website.  Information Exchange for Sheet Metal Workers.
< http://www.thesheetmetalshop.com  >